درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی

شکل 3-6 سامانهٔ جرم - فنری را هنگام نوسان روی سطح افقی بدون اصطکاک نشان می‌دهد. این سامانه مثال بارز حرکت هماهنگ ساده است. در کتاب فیزیک 1 دیدید وقتی فنری فشرده یا کشیده می‌شود در سامانهٔ جرم - فنر انرژی پتانسیل کشسانی ذخیره می‌شود، به طوری که با افزایش جابه جایی از نقطهٔ تعادل (جایی که فنر نه فشرده و نه کشیده شده است) این انرژی پتانسیل افزایش می‌یابد. بنابراین انرژی پتانسیل سامانهٔ جرم - فنر در نقاط بازگشتی $(x=\pm A)$ بیشینه و در نقطهٔ تعادل $(x=0)$ برابر صفر است.

انرژی جنبشی این سامانه نیز به جرم قطعهٔ متصل به فنر و تندی آن بستگی دارد و برابر با $K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ است. با افزایش جابه جایی از نقطهٔ تعادل، تندی کاهش می‌یابد و انرژی جنبشی سامانه نیز کم می‌‌شود، طوری که در نقاط بازگشتی $x=\pm A$ که تندی صفر می‌‌شود انرژی جنبشی سامانه به صفر می‌رسد. بیشینهٔ تندی در نقطهٔ تعادلِ $x=0$ رخ می‌دهد و بنابراین انرژی جنبشی نیز در این نقطه بیشینه می‌‌شود.
در فیزیک 1 آموختیم که انرژی مکانیکی این سامانه برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل آن است $(E=K+U)$. چون سطح بدون اصطکاک است، انرژی مکانیکی سامانه پایسته می‌ماند و بنابراین مجموع انرژی‌های جنبشی و پتانسیل در نقاط بازگشتی، نقطهٔ تعادل، و هر نقطهٔ دلخواه دیگری از مسیر با هم برابر است. به همان اندازه که با افزایش جابه جایی از نقطه تعادل، انرژی پتانسیل افزایش می‌یابد، انرژی جنبشی کاهش می‌یابد و بالعکس. شکل 3-7 تبدیل انرژی‌های جنبشی و پتانسیل به یکدیگر و پایستگی انرژی مکانیکی در حرکت هماهنگ سادهٔ سامانهٔ جرم - فنر را نشان می‌دهد.

نشان داده می‌‌شود انرژی مکانیکی سامانهٔ جرم - فنر در حرکت هماهنگ ساده از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

(۶-۳)   (انرژی مکانیکی سامانهٔ جرم - فنر)  $K=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$

که در آن $k$ ثابت فنر و $A$ دامنهٔ نوسان است. با استفاده از رابطه‌های 3-5 و 3-3 به رابطهٔ مفید دیگری می‌رسیم که برای هر نوسانگر هماهنگ سادهٔ دیگری از جمله آونگ ساده نیز برقرار است:

$E=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=2{{\pi }^{2}}m{{A}^{2}}{{f}^{2}}$

یا:

(۷-۳)  (انرژی مکانیکی نوسانگر هماهنگ ساده) $E=2{{\pi }^{2}}m{{A}^{2}}{{f}^{2}}$

اگرچه پایستگی انرژی مکانیکی و تبدیل انرژی‌های جنبشی و پتانسیل به یکدیگر را فقط برای نوسانگر جرم - فنر بررسی کردیم، ولی می‌توان نشان داد در حالت کلی، برای هرگونه نوسانگر هماهنگ سادهٔ دیگری (از جمله آونگ ساده) نیز برقرار است. همچنین بنا به رابطهٔ 3-7 انرژی مکانیکی هر نوسانگر هماهنگ ساده‌ای متناسب با مربع دامنه $({{A}^{2}})$ و مربع بسامد $({{f}^{2}})$ است.

آونگ ساده: آونگ ساده شامل وزنهٔ کوچکی به جرم $m$ (موسوم به وزنهٔ آونگ) است که از نخی بدون جرم و کش نیامدنی به طول $L$ که سر دیگر آن ثابت شده، آویزان است (شکل 3-8). اگر زاویهٔ انحراف آونگ از وضع تعادل کوچک باشد، آونگ حرکت هماهنگ ساده خواهد داشت و همان تبدیل‌های انرژی نوسانگر هماهنگ ساده در اینجا نیز رخ می‌دهد.

آزمایش‌های متعدد و محاسبه، نشان می‌دهد دورهٔ تناوب آونگ ساده فقط به شتاب گرانشی $(g)$ و طول آونگ $(L)$ بستگی دارد، و از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

(۸-۳)      (دورهٔ تناوب آونگ ساده)   $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

این رابطه نشان می‌دهد که دورهٔ تناوب آونگ ساده به جرم و دامنهٔ آن بستگی ندارد.